imagesesli-kompozitsija-sjurektivna-chto-mogno-skazat-ob-otobragenijah-thumb.jpg

Операции над соответствиями на множествах

Если отображение инъективно, этот морфизм будет называться мономорфизмом. Изотонное отображение упорядоченного множества в упорядоченное множество называется морфизмом. Рис. 57.11. Это отображение, но не морфизм.

Сюръективное отображение или сюръекция. Инъективное отображение или инъекция. Отображение в называется инъекцией, если каждый элемент есть образ только одного элемента , либо вообще не имеет прообраза. Как можно видеть, если для любого , то отображение является инъекцией. Если отображение одновременно сюръективно и инъективно, то оно называется биективным отображением или биекцией.

Рис. 57.5. Сюръективная функция. Если порядок полный, то изотонное отображение будет называться монотонно неубывающим отображением. Пример 1. На рис. 57.8 показаны два вполне упорядоченных множества и , представленные соответствующими максимальными цепями. Это изучение бесполезно продолжать; отображение не мономорфизм. Рис. 57.12. Эпиморфизм.

Действительно, — морфизм, но не эпиморфизм (имеется по крайней мере один , в который не входит ни одна дуга). Проверим, будет ли это отображение мономорфизмом. Таким образом, отображение подмножества в действительно изотонно.

Операции над соответствиями на множествах

Таким образом, отображение — морфизм. Рис. 57.17. Изоморфизм. Пример 10 (см. рис. 57.19) на автоморфизм: легко проверить, что отображение есть изоморфизм и обратное отображение — тоже изоморфизм.

Для отображения его можно проверить непосредственно, по симметрии. Как можно видеть, мы снова получили определения, касающиеся упорядоченных множеств, но условие изотонности здесь заменено условием (57.34), а отображение стало функциональным.

Композиция бинарного отношения на множестве

Заметим, что этот способ композиции двух бинарных отношений совпадает с тем, который определен в (13.10), и к тому же представляет собой только частный случай определения (13.9). Композиция отображений. Если все рассматриваемые отображения есть к тому же биективные функции, то для каждого отображения существует обратное к нему и множество этих биективных функций образует группу.

Свойства композиции соответствий

Мы рассмотрели случай функциональных отображений или функций между структуризованными множествами. Аналогичное доказательство будет проведено для отображений, функциональных или нет, между упорядоченными множествами. В данной работе законы композиции, которые мы будем рассматривать для морфизмов, будут ассоциативными.

57. Обзор некоторых понятий, необходимых для введения понятия категории

Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чиселR по сложению в группу ненулевых вещественных чисел R* по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество {2πki : k ∈ Z}, как можно видеть из формулы Эйлера. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмовG.

В то же время на соответствия можно распространить операции, определяемые для отображений. Обратимся сначала к отображениям (как частным случаям соответствий). Тем самым задается график отображения f\circ g, т.е. множество упорядоченных пар (x,y), таких, что y=g(f(x)).

Как можно видеть, если для всех , то отображение биективно. Функция может быть сюръективной, инъективной или биективной. Очевидно, что если функция биективная, то тоже биективная. Мы не проводим проверку изотонности для других упорядоченных пар , и т. д., поскольку очевидно, что изотонность транзитивна и поэтому ее достаточно проверить только для смежных элементов.

Мономорфизм упорядоченных множеств. Изоморфизм упорядоченных множеств. Будет ли мономорфизмом? Следовательно, данное отображение есть морфизм. Здесь мы имеем дело с другими множествами. Это действительно морфизм.

Рис. 57.15. Мономорфизм. Поэтому отображение — мономорфизм. Если отождествить и , и , то изоморфизм станет очевидным. Читатель может проверить, что это также изоморфизм. Это видно непосредственно из рисунка.

Рис. 57.10. Морфизм, но не эпиморфизм и не мономорфизм. Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и koh : G → K тоже гомоморфизм. Таким образом, поскольку отображение — эпиморфизм и мономорфизм, то оно изоморфизм. Таким образом, отображение биективно, а упорядоченные множества и — двойственны.

Читайте также: