imageskak-chislo-perevesti-v-beskonechnuju-desjatichnuju-periodicheskuju-drob-thumb.jpg

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Переведите правильную обыкновенную дробь 37/100 в десятичную. Положим . Эта чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи целых чисел в десятичной системе счисления. Количество цифр в числителе равно 3, а количество нулей в знаменателе равно 7, поэтому данная обыкновенная дробь нуждается в подготовке к переводу в десятичную.

Итак, подставляем все найденные значения в формулу выше и получаем обыкновенную дробь. Полученный ответ всегда можно проверить на обычном калькуляторе. Для закрепления навыков перевода правильных обыкновенных дробей с числителями 10, 100, … в десятичные дроби разберем решение еще одного примера. В остальных случаях приходится использовать другой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную, к рассмотрению которого мы и переходим.

Рассмотрим решения примеров. Если в исходной десятичной дроби убрать десятичную запятую, то мы получим число 3 025. В нем нет нулей слева, которые бы мы отбросили.

Начнем с самых простых случаев, когда период дроби есть 0. Периодические дроби с периодом 0 можно заменить равными им конечными десятичными дробями, для этого достаточно отбросить все нули справа. Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью.

Перевод периодической дроби в обыкновенную

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а в знаменателе записать столько девяток, сколько цифр в периоде. Заодно познакомимся с целым классом дробей с бесконечной значащей частью. Периодически повторяющиеся группы цифр в десятичной записи числа называют периодом, а бесконечную десятичную дробь. имеющую такой период в своей записи, называют периодической.

Термин «рациональное число» произошел от латинского слова «ratio», что в переводе означает «отношение» (дробь). Назовем рациональное число положительным, если — положительное целое число, и отрицательным — в обратном случае. Чтобы бесконечную десятичную дробь умножить на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно, как и в конечной десятичной дроби, перенести запятую на одии, два, три и т. д. знака вправо. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом.

Периодические десятичные дроби

Привести знаменатель дроби к 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Легко видеть, что это число можно представить в виде обыкновенной дроби вида , знаменатель которой является степенью десятки.

Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка совпадает с одной из точек деления числовой прямой. Это свойство было использовано дважды в алгоритме.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. Эти результаты можно суммировать в следующей теореме. Всякое действительное число вида может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом.

Принято считать, что, если погрешность не указана, то абсолютная погрешность десятичной дроби равна плюс-минус половине единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005. Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по степеням тысячи. Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань).

Разложение на простые множители знаменателя дроби 7/12 имеет вид 12=2·2·3. Это означает, что исходная обыкновенная дробь переводится в бесконечную периодическую десятичную дробь. Покажем это на примере. И сегодня мы научимся переводить абсолютно любую числовую дробь в десятичную. Заметим, что т. е. мы получили конечную десятичную дробь, или бесконечную дробь с нулем в периоде.

Читайте также: